modellizzazione

Heidi, Peter e le leggi di conservazione iperboliche

Il nesso? La matematica che studia le dinamiche di interazione tra individuo e popolazione assimilandole a quelle tra cani e pecore in un gregge.

Heidi e Peter infatti, mentre scorrazzavano per i pascoli svizzeri con le loro docili pecore erano aiutati da un cane, Nebbia. Lui è in questo caso l’individuo, le pecore la popolazione, e possono essere rappresentati in un pittorico quadretto matematico. Ovvero potremmo dire che se le pecore non si perdevano su e giù per le montagne era quasi esclusivamente grazie al confinamento che Nebbia gestiva e al quale era stato addestrato, e che i movimenti del gregge erano determinati dall’effetto repulsivo provocato dal cane.

Per usare termini matematici dovremmo comunicare a suon di formule, ma ho cercato di estrapolarne il senso.

Una situazione di questo tipo è rappresentabile attraverso la costruzione di un modello, basato sulle caratteristiche dei protagonisti, che la mostri in chiave semplificata. In poche parole, quello che succede nel passaggio tra questo video e quest’altro (a parte il fatto che nel secondo caso i cani, rappresentati come puntini, sono due).

Come si può notare da entrambi, è il cane a interagire con le pecore per gestirle e determinarne il movimento, non viceversa, e questo fa sì che si tratti di un modello piuttosto semplice: non tiene in considerazione, ad esempio, la fatica del cane, bensì solamente quale sia l’orbita ottimale per far sì che nessuna pecora esca dal gregge e si perda.

Ma perché costruire un modello di questo tipo? Perchè una volta in mano il modello, modificando via via le variabili diventa possibile investigare un ventaglio di situazioni simili a quella di partenza, e in questo modo pensare a come ottimizzarla oppure fare previsioni sulla sua evoluzione.

E perché proprio cani e pecore? Perché è una metafora semplice che ben si presta ad essere usata come modello per trovare applicazione in tutte quelle circostanze in cui un singolo (o pochi singoli) si trova a gestire una moltitudine di individui. Pensiamo ad esempio ai responsabili della sicurezza quando devono gestire una folla che protesta.

Si tratta, come dicevo, di questioni per il cui studio si applicano conoscenze matematiche: la matematica che studia le interazioni tra individuo e popolazione si serve di equazioni differenziali, ovvero equazioni che legano lo stato di un sistema a come questo si sta evolvendo.

A me termini così suonano un po’ difficili, anche se solo un paio di mesi fa ho seguito una lezione vera e propria su questi argomenti da parte del Prof. Rinaldo Colombo, matematico all’Università di Brescia. Quello che però ho capito durante la lezione è che ci sono applicazioni della matematica, una scienza che ho sempre reputato affascinante ma un po’ distante dalla  concretezza dei fatti, che cercano di intervenire su dinamiche invece estremamente concrete. Ad esempio, lo stesso Colombo si occupa (oltre che di modelli cani-pecore) di studiare i modelli riguardanti le dinamiche della folla, ovvero di come elaborare i piani di evacuazione degli studenti dalle classi facendo in modo che il deflusso avvenga lungo la cosiddetta geodetica, il percorso più breve che lega due punti in uno spazio. Ma la modellizzazione con equazioni differenziali comprende anche studi riguardanti il flusso del traffico stradale, per poter contribuire nel miglioramento della viabilità, sulle dinamiche del flusso sanguigno, dei gas, e sui comportamenti della cosiddetta materia granulare, ad esempio le valanghe o i cementi.

Certo la realizzazione e l’applicazione di un modello non sono una garanzia, nel senso che non sempre i fatti poi corrispondono alle previsioni del modello, e lo stesso Colombo ha terminato la lezione dicendo: “Tutti i modelli sono sbagliati, ma alcuni sono utili”, intendendo proprio il fatto che è impossibile esprimere in un unico schema matematico tutte le possibilità riscontrabili nella realtà.

C’è infatti sempre qualcosa di imprevedibile…

Crediti immagine: screenweek